проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу соответственно равны 9 и 18. найдите меньший катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол B - прямой.

Опустим высоту BH из вершины B на гипотенузу AC.

Тогда проекции катетов на гипотенузу, по условию задачи:

AH = 9 и СH = 18.

Треугольники ABH и BCH подобны, так как углы у них равны. Следовательно:

AH / BH = BH / CH,

BH^2 = AH * CH = 9 * 18,

BH = 9 * √2.

По теореме Пифагора найдем длины гипотенуз треугольников ABH и BCH:

AB^2 = AH^2 + BH^2 = 9^2 + 9^2 * 2 = 3 * 9^2, AB = 9 * √3.

BC^2 = CH^2 + BH^2 = 18^2 + 9^2 * 2 = 9^2 * (4 + 2) = 6 * 9^2, BC = 9 * √6.

Таким образом, мы получили, что длина меньшего катета AB = 9 * √3.