Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения 1/a^2+2+8/a^4-4-2/a^2-2 отрицательно

1 / (a^2 + 2) + 8 / (a^4 - 4) - 2 / (a^2 - 2) - чтобы сложить дроби, их надо привести к общему знаменателю; если знаменатель второй дроби преобразовать по формуле a^2 - b^2 = (a - b) (a + b), где a = a^2, b = 2;

a^4 - 4 = (a^2) ^2 - 2^2 = (a^2 - 2) (a^2 + 2) - первый множитель - это знаменатель третьей дроби, а второй множитель - это знаменатель первой дроби; значит общим знаменателем будет (a^2 - 2) (a^2 + 2); дополнительный множитель для первой дроби будет (a^2 - 2), а для второй дроби - (a^2 + 2);

(a^2 - 2) / ((a^2 - 2) (a^2 + 2)) + 8 / ((a^2 - 2) (a^2 + 2)) - 2 (a^2 + 2) / ((a^2 - 2) (a^2 + 2)) = (a^2 - 2 + 8 - 2 (a^2 + 2)) / ((a^2 - 2) (a^2 + 2)) = (a^2 + 6 - 2a^2 - 4) / ((a^2 - 2) (a^2 + 2)) = ( - a^2 + 2) / ((a^2 - 2) (a^2 + 2)) = - (a^2 - 2) / ((a^2 - 2) (a^2 + 2)) = - 1 / (a^2 + 2).

Получившееся выражение всегда будет отрицательным, т. к (a^2 + 2) > 0, квадрат числа - есть число положительное, и к положительному числу прибавим 2 - тоже всегда будет положительно. Минус 1 делим на положительное число - получаем всегда отрицательное число.