Найти наибольшее значение функции f (x) = 8x - x²-8 на отрезке [3; 5].

Чтобы найти наибольшее значение функции f (х) = 8 * х - х² - 8, проанализируем сначала саму функцию, переписав ее в привычный вид:

f (х) = - х² + 8 * х - 8;

Перед нами квадратичная функция, первый коэффициент которой отрицателен, значит графиком этой функции будет парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальным значением такой функции будет вершина параболы и, если она попадает в оговоренный отрезок, другого максимального значения можно не искать. Проверим, найдя производную функции и приравняв ее нулю:

f ' (х) = ( - х² + 8 * х - 8) ' = ( - х²) ' + (8 * х) ' - (8) ' = - 2 * х + 8;

- 2 * х + 8 = 0;

х = - 8 / - 2 = 4;

Найденное значение х попадает в наш отрезок, так как:

3 < 4 < 5;

Следовательно наибольшим значением является значение функции в точке х = 4:

f (х) = - х² + 8 * х - 8;

f (4) = - 4² + 8 * 4 - 8 = - 16 + 32 - 8 = 8.