Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. y''-2y'=2; y (1) = -1; y' (1) = 0

1. Составим и решим характеристическое уравнение для дифференциального уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами:

y" - 2y' = 2; y" - 2y' - 2 = 0; k^2 - 2k - 2 = 0; D/4 = 1 + 2 = 3; k = 1 ± √3; k1 = 1 - √3; k2 = 1 + √3.

2. Общее решение дифференциального уравнения:

y (x) = C1e^ (k1x) + C2e^ (k2x), C1 и С2 - константы.

3. Вычислим производную:

y' (x) = C1k1e^ (k1x) + C2k2e^ (k2x);

4. Решим систему уравнений:

{y (1) = - 1;

{y' (1) = 0;

{C1e^ (k1) + C2e^ (k2) = - 1;

{C1k1e^ (k1) + C2k2e^ (k2) = 0;

C2e^ (k2) = - C1e^ (k1) * (k1/k2);

C1e^ (k1) - C1e^ (k1) * (k1/k2) = - 1;

C1e^ (k1) (1 - k1/k2) = - 1;

C1e^ (k1) (k2 - k1) / k2 = - 1;

C1e^ (k1) = k2 / (k1 - k2); (1)

C2k2e^ (k2) = - k2 / (k1 - k2) * (k1/k2);

C2k2e^ (k2) = k1 / (k2 - k1); (2)

C1e^ (k1) = (1 + √3) / (-2√3) = (-3 - √3) / 6 = p1;

C2e^ (k2) = (1 - √3) / (2√3) = (-3 + √3) / 6 = p2;

y = C1e^ (k1x) + C2e^ (k2x);

y = (p1/e^ (k1)) * e^ (k1x) + (p2/e^ (k2)) e^ (k2x);

y = p1e^ (k1 (x - 1)) + p2e^ (k2 (x - 1)).

Ответ: p1e^ (k1 (x - 1)) + p2e^ (k2 (x - 1)), где k1 = 1 - √3; k2 = 1 + √3; p1 = (-3 - √3) / 6; p2 = (-3 + √3) / 6.