Площадь прямоугольного треугольника равна 90 см (в квадрате). сумма площадей квадратов, построеных на его катетах равна 369 см (в квадрате). каковы катеты это треугольника?

Обозначим катеты (в см) прямоугольного треугольника через х и у. Тогда площадь (S) этого прямоугольного треугольника можно определить по формуле S = ½ * х * у. Согласно условия задания, S = 90 см². Следовательно, ½ * (х см) * (у см) = 90 см², откуда х * у = 180. Это первое уравнение. Согласно другого условия задания, х² + у² = 369. Это второе уравнение. Умножим обе части первого уравнения на 2 и сложим соответствующие части обоих уравнений. Тогда, получим 2 * х * у + х² + у² = 2 * 180 + 369 или х² + 2 * х * у + у² = 729. Применяя формулу сокращенного умножения (a + b) ² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы), получим: (х + у) ² = 729, откуда х + у = 27. Это третье уравнение. Первое и третье уравнения, согласно теореме Виета, позволяют утверждать, что х и у являются решениями квадратного уравнения z² - 27 * z + 180 = 0. Решая это квадратное уравнение, находим его корни: z₁ = 12 и z₂ = 15. Таким образом, катеты данного прямоугольного треугольника равны 12 см и 15 см.

Ответ: 12 см и 15 см.