Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y = - x^2+2x+3, y=3-x б) y = x^2-4x, y = - (x-4) ^2

Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y = - x^2 + 2 * x + 3, y = 3 - x;

Графиком первой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Графиком второй функции является прямая.

y = 3 + 2 * x - x^2;

y = 3 - x;

3 + 2 * x - x^2 - (3 - x) = 3 + 2 * x - x^2 - 3 + x = 2 * x + x - x^2 = 3 * x - x^2;

S = (от 0 до 3) ∫ (3 * x - x^2) dx = (от 0 до 3) (3 * x^2/2 - x^3/3) = (от 0 до 3) (3/2 * x^2 - 1/3 * x^3) = (3/2 * 3^2 - 1/3 * 3^3) - (3/2 * 0^2 - 1/3 * 0^3) = 27/2 - 27 = 13.5 - 9 = - 4.5.

б) y = x^2 - 4 * x, y = - (x - 4) ^2;

S = (от 2 до 4) ∫ ( - (-4 + x) ^2 + 4 * x - x^2) dx = (от 2 до 4) ∫ ( - (x - 4) ^2 + 4 * x - x^2) dx = (от 2 до 4) ∫ (-x^2 + 8 * x + 16 + 4 * x - x^2) dx = (от 2 до 4) ∫ (-2 * x^2 + 12 * x + 16) dx = (от 2 до 4) (-2/3 * x^3 + 6 * x^2 + 16 * x) = 8/3.