Cos 5x + cos 2x + cos3x + cos4x = 0

сos5x + cos2x + cos3x + cos4x = 0;

1. Выполним группировку:

(сos5x + cos3x) + (cos2x + cos4x) = 0;

2. Воспользуемся формулой суммы тригонометрических функций:

сos5x + cos3x = 2 сos ((5x + 3 х) / 2) * cos ((5x - 3 х) / 2) = 2 сos ((8 х) / 2) * cos ((2 х) / 2) = 2 сos4 х * cosх;

сos2x + cos4x = 2 сos ((2x + 4 х) / 2) * cos ((4x - 2 х) / 2) = 2 сos ((6 х) / 2) * cos ((2 х) / 2) = 2 сos3 х * cosх;

3. Подставим полученные значения:

2 сos4 х * cosх + 2 сos3 х * cosх = 0;

4. Вынесем общий множитель 2cosх:

2cosх (сos4 х + сos3 х) = 0;

5. Воспользуемся формулой суммы тригонометрических функций:

сos4x + cos3x = 2 сos ((4x + 3 х) / 2) * cos ((4x - 3 х) / 2) = 2 сos ((7 х) / 2) * cos ((х) / 2) = 2 сos7 х/2 * cosх/2;

6. Подставим полученные значения:

2cosх * 2 сos7 х/2 * cosх/2 = 0;

7. Произведение равно нулю, если:

1) 2cosх = 0;

cosх = 0;

х1 = π/2 + πn, n ∈ Z;

2) 2 сos7/2 х = 0;

сos7 х/2 = 0;

7 х/2 = π/2 + πm, m ∈ Z;

х2 = π/2 * 2/7 + 2/7 * πm, m ∈ Z;

х2 = π/7 + 2/7 * πm, m ∈ Z;

3) cosх/2 = 0;

сosх/2 = 0;

х/2 = π/2 + πk, k ∈ Z;

х3 = π/2 * 2/1 + 2/1 * πk, k ∈ Z;

х3 = π + 2πk, k ∈ Z;

Ответ: х1 = π/2 + πn, n ∈ Z, х2 = π/7 + 2/7 * πm, m ∈ Z, х3 = π + 2πk, k ∈ Z.