При всех значениях параметра а решите неравенство х^2 - (3 а+1) х + 2 а^2 + а < или равно 0

1. Находим дискриминант:

х^2 - (3 а + 1) х + 2 а^2 + а ≤ 0; D = (3 а + 1) ^2 - 4 (2 а^2 + а) = 9a^2 + 6a + 1 - 8a^2 - 4a = a^2 + 2a + 1 = (a + 1) ^2.

2. Корни трехчлена:

x = ((3 а + 1) ± √ (a + 1) ^2) / 2 = ((3 а + 1) ± (a + 1)) / 2; x1 = ((3 а + 1) - (a + 1)) / 2 = (3 а + 1 - a - 1) / 2 = a; x2 = ((3 а + 1) + (a + 1)) / 2 = (3 а + 1 + a + 1) / 2 = 2a + 1.

3. Сравним корни и решим неравенство:

x2 - x1 = 2a + 1 - a = a + 1;

1) при a < - 1:

x2 < x1; x ∈ [2a + 1; a];

2) при a = - 1:

x2 = x1; x = a;

3) при a > - 1:

x2 > x1; x ∈ [a; 2a + 1].

Ответ:

1) a x ∈ [2a + 1; a]; 2) a = - 1 = > x = a; 3) a > - 1 = > x ∈ [a; 2a + 1].