Найдите координаты центра окружности проходящей через точки A (3; 0) и B (-1; 2) если ее центр лежит на прямой y=x+2

1. Пусть:

O (a; b) - центр окружности; r - ее радиус.

2. Уравнение окружности:

(x - a) ^2 + (y - b) ^2 = r^2.

3. Координаты точек A и B, лежащих на этой окружности, должны удовлетворять ее уравнению:

A (3; 0); B (-1; 2); (a - 3) ^2 + b^2 = r^2; (1) (a + 1) ^2 + (b - 2) ^2 = r^2. (2)

4. Центр окружности лежит на прямой y = x + 2:

b = a + 2; a = b - 2. (3)

5. Из уравнений (1), (2) и (3) получим:

(a - 3) ^2 + b^2 = (a + 1) ^2 + (b - 2) ^2; (b - 2 - 3) ^2 + b^2 = (b - 2 + 1) ^2 + (b - 2) ^2; (b - 5) ^2 + b^2 = (b - 1) ^2 + (b - 2) ^2; b^2 - 10b + 25 + b^2 = b^2 - 2b + 1 + b^2 - 4b + 4; - 10b + 25 = - 6b + 5; 25 - 5 = 10b - 6b; 20 = 4b; b = 5; a = b - 2 = 3.

Ответ: (3; 5).