Дан правильный тетраэдр ABCD. Через каждое его ребро и середину противоположного ребра провели плоскость (т. е. всего провели 6 плоскостей, например одна из плоскостей проходит через ребро AB и середину ребра CD.) На сколько частей разбился тетраэдр этими плоскостями?

Пусть основание тетраэдра будет АВС, а вершина - Д. Все грани тетраэдра - правильные треугольники, так как АВСД - правильный тетраэдр.

Проведем первое сечение тетраэдра Обозначим середину ребра ДС точкой М. Проведем сечение через ребро АВ и точку М (середину ребра ДС). Сечением будет равносторонний треугольник (АМ = ВМ - медианы равных треугольников). Данный треугольник делит весь тетраэдр на две части, причем объемы этих частей равны, так как АМ и ВМ - перпендикуляры к стороне ДС (медиана в равнобедренном треугольнике является и высотой). Проведем остальные пять сечений тетраэдра

Всего у тетраэдра 6 ребер: АВ, ВС, АС, ДВ, ДС и ДА. И через каждое ребро нужно провести сечение. Первое сечение (через АВ) мы провели, остается провести еще пять сечений.

Проводим сечение, проходящее через ребро ВС и середину ребра АД. Данное сечение разделит каждую из двух частей тетраэдра еще на две части, получилось четыре части тетраэдра.

Проведем еще сечение - через ребро АС и середину ребра ДВ, оно разделит каждую часть тетраэдра еще на две части - получится восемь частей.

Следующее сечение через ребро ДВ и середину АС делит каждую из 8 частей еще на две части. Получится 16 частей.

Проводим сечение через ребро ДС и середину АВ, получится 32 части.

Осталось провести сечение через ребро ДА и середину ВС - получится 64 части тетраэдра.

Ответ: на 64 части.