lim√x+1-1/x если x->0

lim (√ (x + 1) - 1) / x при x → 0.

Подставим в выражение под знаком предела х = 0, получим:

lim (√ (0 + 1) - 1) / 0 = (1 - 1) / 0 = 0/0 - неопределенность.

Домножим числитель и знаменатель дроби на число сопряженное числителю (√ (x + 1) + 1), получим:

lim (√ (x + 1) - 1) * (√ (x + 1) + 1) / x * (√ (x + 1) + 1).

По формуле разности квадратов, преобразуем числитель и сократим:

lim ((x + 1) - 1) / x * (√ (x + 1) + 1) = lim х / x * (√ (x + 1) + 1) = lim 1 / (√ (x + 1) + 1) при x → 0 = 1 / (√ (0 + 1) + 1) = 1 / (1 + 1) = 1/2.