В ромбе ABCD O - точка пересечения диагоналей, OM, OK, OE - перпендикуляры, опущенные на стороны AB, BC, CD соответсвенно. Докажите, что OM=OK, и найдите сумму углов MOB и COE.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ВОК и ВОМ. В этих треугольниках гипотенуза ОВ общая, а углы < OBK = < OBM, как углы на которые делит диагональ ромба его угол. А в равных треугольниках против равных углов располагаются равные стороны. Значит, катеты ОМ и ОК равны. Что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим углы < MOB и < СОЕ. Эти два угла в сумме с прямым углом < BOC составляют 180 градусов. Значит, сумма углов < MOB + < СОЕ = 180 - 90 = 90 (градусов).

Ещё один момент: перпендикуляры ОМ и ОЕ, опущенные на стороны ромба АВ и СD представляют общую прямую, как перпендикуляры опущенные на параллельные прямые АВ и СD.