Сколькими нулями заканчивается произведение первых 2016 натуральных чисел?

Решение:

1. Для того, чтобы найти все натуральные числа, нужно расписать число:

1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 ... * 2015 * 2016;

2. От 5 до 2015 ровно (2015-5) / 5 + 1 = 403 числа, делящихся на 5.

3. От 25 до 2000 ровно 80 чисел, делящихся на 25 (2 пятерки).

4. От 125 до 2000 ровно 16 чисел, делящихся на 125 (3 пятерки).

5. От 625 до 1875 ровно 3 числа, делящихся на 625 (4 пятерки).

Получаем 403 + 80 + 16 + 3 = 502 пятерки.

Ответ: 502 нуля.

Количество нулей в конце числа

Количество нулей в конце числа определяется количеством десяток, содержащихся в данном числе, при разложении его на множители.

Но поскольку 10 = 2 * 5, то количество нулей будет совпадать с количеством тех множителей, которых меньше всего среди первых 2016 чисел. Очевидно, среди этих чисел двоек гораздо больше, чем пятерок, следовательно, определяющим будет количество пятерок.

Количество пятерок в различных степенях

Количество пятерок зависит от того, сколько чисел делится на 5, 25, 125 и 625, т. е. на степени числа 5. Заметим, что 5^5 = 3125 > 2016, поэтому ни одно число не содержит 5 пятерок.

Разделим число 2016 на 5, отбросив остаток, до тех пор, пока в частном не получим число, меньше 5:

2016 = 2015 + 1 = 5 * 403 + 1;

403 = 400 + 3 = 5 * 80 + 3;

80 = 5 * 16;

16 = 15 + 1 = 5 * 3 + 1.

Из этих записей следует, что:

среди первых 2016 чисел 403 числа делятся на 5; из них 80 чисел делятся на 5^2 = 25; из них 16 чисел делятся на 5^3 = 125; из них 3 числа делятся на 5^4 = 625. Общее количество пятерок от всех степеней Количество пятерок в числах, кратных 5, взятых по одному множителю - 403; Количество пятерок в числах, кратных 25, взятых по второму множителю - 80; Количество пятерок в числах, кратных 125, взятых по третьему множителю - 16; Количество пятерок в числах, кратных 625, взятых по четвертому множителю - 3.

Следовательно, количество всех пятерок среди 2016 первых чисел равно:

403 + 80 + 16 + 3 = 502.

Стало быть, столькими нулями оканчивается произведение первых 2016 чисел.

Ответ: 502 нулями.