Решить неравенство log√8-√3 (x²-4x+14-4√6) <2

log _{(√8 - √3)} (x^2 - 4x + 14 - 4√6) < 2.

1) Разберем ОДЗ:

Значение (√8 - √3) должно быть не равен 1. √8 ~ 2,8; √3 ~ 1,7. 2,8 - 1,7 = 1,1 (подходит).

Значение (√8 - √3) должно быть больше 0: так как √8 больше √3, то их разница больше 0.

Значение (x^2 - 4x + 14 - 4√6) должно быть больше 0.

x^2 - 4x + 14 - 4√6 > 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 - 4x + 14 - 4√6, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - 4x + 14 - 4√6 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = - 4; c = 14 - 4√6;

D = b^2 - 4ac; D = (-4) ^2 - 4 * 1 * (14 - 4√6) = 16 - 4 (14 - 4√6) = 16 - 56 + 16√6 = 16√6 - 40.

Чтобы определить знак получившегося выражения, внесем числа под корень: √ (256 * 6) - √1600 = √1536 - √1600. Второе число больше, поэтому значение D будет отрицательным, то есть корней нет. То есть нет точек пересечения с осью х, парабола вся находится выше оси х (ветви вверх), знак неравенства > 0, поэтому решение неравенства: х - любое число.

2) Представим 2 как логарифм с основанием (√8 - √3):

log _{(√8 - √3)} (x^2 - 4x + 14 - 4√6) < log _{(√8 - √3)} (√8 - √3) ^2.

Так как основание логарифма больше 1, то получается неравенство:

x^2 - 4x + 14 - 4√6 < (√8 - √3) ^2.

Раскрываем скобки, переносим все в левую часть неравенства и подводим подобные слагаемые:

x^2 - 4x + 14 - 4√6 < 8 - 2√24 + 3 (√24 = √ (4 * 6) = 2√6);

x^2 - 4x + 14 - 4√6 < 8 - 4√6 + 3;

x^2 - 4x + 14 - 4√6 - 8 + 4√6 - 3 < 0;

x^2 - 4x + 3 < 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 - 4x + 3, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0;

x^2 - 4x + 3 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 4; х₁ * х₂ = 3.

Корни равны 1 и 3.

Отмечаем на числовой прямой точки 1 и 3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (1; 3).

Ответ: х принадлежит промежутку (1; 3).