Ученик число дня своего рождения умножил на 12, а порядковый номер месяца умножил на 31. Полученные произведения сложил и в результате получил 328. Какого числа, месяца родился ученик?

Обозначим число и порядковый номер месяца дня рождения ученика через А и В.

Тогда, по условию задачи имеем, что:

12 * А + 31 * В = 328,

31 * В = 328 - 12 * А = 4 * (82 - 3 * А).

Всего существует 12 месяцев и их порядковые номера: 1, 2, ...,12.

Так как 31 - простое число, из полученного уравнения вытекает, что число В должно делиться на 4. Следовательно, возможные порядковые номера месяца: 4, 8, 12.

Тогда имеем:

1) Если А = 4,

31 * 4 = 4 * (82 - 3 * А),

31 = 82 - 3 * А, 3 * А = 51, А = 17.

Значение подходящее и день рождения ученика 17 апреля.

2) Если А = 8,

31 * 8 = 4 * (82 - 3 * А), 62 = 83 - 3 * А, 3 * А = 31 не имеет решений в натуральных числах.

3) А = 12,

31 * 12 = 4 * (82 - 3 * А), 93 = 82 - 3 * А, 3 * А = - 11 не имеет решений в натуральных чисел.

Ответ: 17 апреля.