X^4-5x^2-2x+11>0 Докажите справедливость неравеснтва

Самое идеальное преобразовать данное выражение в квадрат какого-то многочлена, но для доказательства положительности того или иного выражения достаточно выделить из исходного выражения суммы квадратов многочленов, одночленов и положительных чисел.

Начнём со старшей степени х^4, которая равна (x^2) ^2. Из члена - 5x^2 можно выделить сумму: - 6 * x^2 + x^2, в результате получим:

х^4 - 5 * x^2 - 2 * x + 11 = [х^4 - 6 * x^2 + (6/2) ^2] + [x^2 - 2 * х + (2/1) ^2] - (2/2) ^2 - (6/2) ^2 + 11 = [x^2 - 3]^2 + [x - 1]^2 - 2^2 - 3^2 + 11 = [x^2 - 3]^2 + [x - 1]^2 - 1 - 9 + 11 =

[x^2 - 3]^2 + [x - 1]^2 + 1. (1)

Пояснения преобразований. в квадратных скобках собираем три члена, а для того, чтобы общее выражение не изменилось, вычитаем добавленные одночлены, это - (2/1) ^2 - (6/2) ^2, а + 11 оставляем без изменения.

Выражения (6/2) ^2 и (2/1) ^2 получаем из коэффициентов 6 и 2 при x^2 и x

Преобразованное выражение (1) представляет собой сумму квадратов выражений и 1, каждое из них больше 0, значит и исходное выражение х^4 - 5x^2 - 2x + 11 > 0 справедливо при любом значении х.