Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром О, угол АВС = 80 градусов, дуга ВС: дуга АВ = 3 : 2. Найти углы треугольника ОАВ.

Углы BOC и AOB относятся, как их дуги: т. е. BOC : AOB = 1,5. Примем угол AOB = x. Треугольник AOB - равнобедренный, т. к. его стороны - радиусы, а угол ABO = BAO = (180 - x) : 2.

Угол BOC = 1,5x, а т. к. и BOC - равнобедренный треугольник, то угол CBO = (180 - 1,5 x) : 2. Тогда угол ABO + CBO = (180 - 1,5 x) : 2 + (180 - x) : 2 = 80. Отсюда x = 80.

Следовательно, угол AOB = 80°, а угол ABO = BAO = (180 - 80) : 2 = 50°.