Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у=2 х^3-15 х^2+24 х+3 на отрезке [2; 3]

1. Критические точки:

у = 2 х^3 - 15 х^2 + 24 х + 3; у' = 6 х^2 - 30 х + 24 = 6 (x^2 - 5x + 4); x^2 - 5x + 4 = 0; D = 5^2 - 4 * 4 = 25 - 16 = 9; x = (5 ± √9) / 2 = (5 ± 3) / 2; x1 = (5 - 3) / 2 = 2/2 = 1; x2 = (5 + 3) / 2 = 8/2 = 4.

2. Промежутки монотонности:

x ∈ (-∞; 1), y' > 0, функция возрастает; x ∈ (1; 4), y' <0, функция убывает; x ∈ (4; ∞), y'> 0, функция возрастает.

3. На промежутке [2; 3] функция убывает, значит, в точке x = 2 - наибольшее значение, а в точке x = 3 - наименьшее значение:

у = 2 х^3 - 15 х^2 + 24 х + 3; ymax = y (2) = 2 * 2^3 - 15 * 2^2 + 24 * 2 + 3 = 16 - 60 + 48 + 3 = 7; ymin = y (3) = 2 * 3^3 - 15 * 3^2 + 24 * 3 + 3 = 54 - 135 + 72 + 3 = - 6.

Ответ: - 6 и 7.