1) Задана функция f (x) = sin³ x/2 найдите производную 2) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = cosx - 1/3 cos3x на отрезке (0, п/2)

1) Функция sin^3 (x/2) является сложной. Это значит, что если есть функция вида f (g (x)), то ее производная вычисляется как f' (g (x)) * g' (x). В нашем случае первой внешней функцией является степенная, потом идет функция sin (x), а потом функция аргумента синуса - x/2. Таким образом:

(sin^3 (x/2)) '=3*sin^2 (x/2) * cos (x/2) * (1/2) = 1,5*sin^2 (x/2) * cos (x/2).

2) Задача на поиск наибольшего и наименьшего значения сводится к поиску экстремума функции на заданном отрезке. Необходимым условием экстремума функции является равенство нулю производной в этой точке. Найдем производную нашей функции:

(cosx - 1/3 cos3x) ' = - sinx + 1/3*3*sin3x = sin3x - sinx - здесь учтено, что наша функция сложная.

Теперь найдем нули функции sin3x - sinx:

sin3x - sinx = 0 = > 2*sinx*cos2x=0 (формула разности синусов)

Отсюда x1 = pi*n, x2 = pi/4 + pi*n/2, где n - любое целое число.

В наш отрезок попадают числа x_1=0, x_2=pi/4. При x_1 - локальный минимум (если x0 и f (x) - возрастает). При x_2 - локальный максимум (если x0 и f (x) - возрастает; если x>x2 f' (x) <0 и f (x) - убывает).

Наибольшее значение - f (pi/4) = (1/2) ^0,5 + 1/3 * (1/2) ^0,5 = 2 * (2) ^0,5/3.

f (0) = 1-1/3=2/3. Теперь проверим вторую граничную точку: f (pi/2) = 0-1/3*0=0. Следовательно, наименьшее значение - f (pi/2) = 0.