3cos (x+1) - 4sin (x+1) = 5

Решим уравнение: 3cos (x + 1) - 4sin (x + 1) = 5.

Сделаем замену: х + 1 = t. Используем формулы двойного аргумента синуса и косинуса:

sin (2α) = 2cosαsinα; cos (2α) = cos²α - sin²α.

3cos2 (t/2) - 4sin2 (t/2) = 5 * (sin²t/2 + cos²t/2). Перенесем все члены уравнения в одну сторону равенства.

3cos² (t/2) - 3sin² (t/2) - 8sin (t/2) * cos (t/2) - 5sin² (t/2) - 5cos² (t/2) = 0

-8sin² (t/2) - 8sin (t/2) * cos (t/2) - 2cos² (t/2) = 0, разделим все члены на (-2cos² (t/2)).

4tg² (t/2) + 4tg (t/2) + 1 = 0 → (2tg (t/2) + 1) ² = 0 → 2tg (t/2) = - 1 → tg (t/2) = - 1/2.

t/2 = - arctg1/2 + πn, n ∈z; t = - 2arctg1/2 + 2πn, n ∈z. Теперь найдем значение искомой переменной:

x + 1 = - 2arctg1/2 + 2πn, n ∈z → x = - 1 - 2arctg1/2 + 2πn, n ∈z.

Ответ: x = - 1 - 2arctg1/2 + 2πn, n ∈z.