Разложите на множители выражение: 1) а²+b²+c²-2ab+2bc-2ac 2) 9x³+3x²+3x+1

Решение:

1). Группируем слагаемые следующим образом:

a² + b² + c² - 2ab - 2bc - 2ac = (b² + c² - 2bc) - (2ab + 2ac) + a².

В первой скобке выражение квадрата разности, свернём его по формуле (а - b) ² = (а² - 2ab + b²). Во второй скобке вынесем общий множитель 2 а:

(b² + c² - 2bc) - (2ab + 2ac) + a² = (b + c) ² - 2 а (b + c) + a².

Полученное выражение есть квадрат разности, где а = b + c, а b = a. Упростим его:

(b + c) ² - 2 а (b + c) + a² = (b + c - a) ².

2). Разложим 9 х³ в виде суммы и "свернём" по формуле куб суммы (a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³:

9 х³ + 3 х² + 3 х + 1 = 8 х³ + (х³ + 3 х² + 3 х + 1) = (2 х) ³ + (х + 1) ³.

Разложим на множители через формулу суммы кубов a³ + b³ = (а + b) (а² + ab + b²):

(2 х) ³ + (х + 1) ³ = (2 х + х + 1) ((2 х) ² - 2 х (х + 1) + (х + 1) ²) = (3 х + 1) (4 х² - 2 х² - 2 х + х² + 2 х + 1) = (3 х + 1) (3 х² + 1).

Ответ: 1). a² + b² + c² - 2ab - 2bc - 2ac = (b + c - a) ²; 2). 9 х3 + 3 х² + 3 х + 1 = (3 х + 1) (3 х² + 1).