Lim (4x+tg5x) / (x+sin2x) x->0

1) Поделим числитель и знаменатель исходного выражения на x. Получим: (4 + tg (5x) / x) / (1 + sin (2x) / x). 2) Теперь найдем два предела: 1. lim tg (5x) / x (x → 0), 2. lim sin (2x) / x (x → 0). 1. lim tg (5x) / x (x → 0) = 5 * (lim tg (5x) / 5x (x → 0)) = 5 * (lim tg (t) / t (t → 0)) = 5 * 1 = 5 (Здесь мы заменили 5x на t и использовали следствие из первого замечательного предела: lim tg (t) / t (t → 0) = 1). 2. lim sin (2x) / x (x → 0) = 2 * (lim sin (2x) / 2x (x → 0)) = 2 * (lim sin (t) / t (t → 0)) = 2 * 1 = 2 (Здесь мы заменили 2x на t и использовали первый замечательный предел: lim sin (t) / t (t → 0) = 1). 3) Тогда по арифметическим свойствам пределов исходный предел равен: (4 + 5) / (1 + 2) = 3. ОТВЕТ: 3.