Решите уравнение 2sin^2x+4=3sqrt3sin (3 п/2+x) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5 п/2,-п]

2sin^2x + 4 = 3√3sin (3 п/2 + x).

По формулам приведения sin (3 п/2 + x) = - cosx.

Представим 4 как (4 * 1), а единицу как (sin^2x + cos^2x).

Получается уравнение 2sin^2x + 4 (sin^2x + cos^2x) = - 3√3cosx;

2sin^2x + 4sin^2x + 4cos^2x = - 3√3cosx;

6sin^2x + 4cos^2x + 3√3cosx = 0.

Представим sin^2x как (1 - cos^2x).

6 (1 - cos^2x) + 4cos^2x + 3√3cosx = 0;

6 - 6cos^2x + 4cos^2x + 3√3cosx = 0;

-2cos^2x + 3√3cosx + 6 = 0.

Умножим на (-1):

2cos^2x - 3√3cosx - 6 = 0.

Произведем замену: пусть cosx = а.

2 а^2 - 3√3 а - 6 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 2; b = - 3√3; c = - 6;

D = b^2 - 4ac; D = (-3√3) ^2 - 4 * 2 * (-6) = 27 + 48 = 75 (√D = √75 = √ (25 * 3) = 5√3);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (3√3 - 5√3) / 4 = - 2√3/4 = - √3/2;

а₂ = (3√3 + 5√3) / 4 = 8√3/4 = 2√3.

Возвращаемся к замене cosx = а:

cosx = 2√3 (это число больше 1, такого не может быть, косинус всегда меньше 1).

cosx = - √3/2; х = ±5 П/6 + 2 Пn, n - целое число.

При помощи единичной окружности находим корни, принадлежащие промежутку [-5 П/2,-П].

Ответ: 7 П/6.