1. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии (xn), если x1=0,55, x2=0,15. 2. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь 0, (12).

Общий член геометрической прогрессии x_n = x₁ qⁿ ^{- 1}.

x₁ = 0,55 = 11/20;

x₂ = x₁ * q = 0,15 = 3/20;

q = 3/11;

Сумма шести членов этой геометрической прогрессии равна:

S₆ = x₁ (1 - q⁶) / (1 - q) = 11/20 (1 - 3⁶/11⁶) / (1 - 3/11) =

110677/146410 ≈ 0,756.

a = 0, (12) = 0,121212 ...

Переведём число в бесконечную сумму дробей:

a = (12/100 + 12/100² + 12/100³ + ...=

12/100 * (1 + 1/100 + 1/100² + ...).

В скобках бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q = 1/100.

Её сумма по теории равна:

S = 1 / (1 - q) = 1 / (1 - 1/100) = 100/99;

a = 12/100 * S = 12/100 * 100/99 = 4/33.