В треугольнике ABC с прямым углом C медиана CM равна 10 корней из 3. Окружность, вписанная в треугольник ACM, касается гипотенузы AB в точке P. Найдите катет BC, если AP/PB=1/3

Необходимо вспомнить:

медиана, проведенная из прямого угла рана половине гипотенузы; отрезки касательных, проведенных из точки вне окружности до точек касания с окружностью равны; теорема Пифагора - сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Приступим:

АВ = 2 СМ = 20√3; СМ = АМ - ∆АМС - равнобедренный и радиус вписанной окружности лежит на медиане МК (КС = КА); РА = 1/4 АВ = 1/4 * 20√3 = 5√3; РА = АК = 5√3; АС = 10√3; ВС = √ (АВ^2 - AC^2) = √ ((20√3) ^2 - (10√3) ^2) = √ (1200 - 300) = √900 = 30.