Sin (2x) * cos (3x) = sin (4x) * cos (5x)

Воспользуемся формулой произведения тригонометрических функций:

sin2xcos3x = sin4xcos5x;

sin2x * cos3x = (sin (2x - 3x) + sin (2x + 3x)) / 2 = (sin ( - x) + sin 5x) / 2;

sin4x * cos5x = (sin (4x - 5x) + sin (4x + 5x)) / 2 = (sin ( - x) + sin 9x) / 2;

Подставим полученные значения и умножим на 2:

(sin ( - x) + sin 5x) / 2 = (sin ( - x) + sin 9x) / 2;

sin ( - x) + sin 5x = sin ( - x) + sin 9x;

Перенесем все значения в левую часть:

sin ( - x) + sin 5x - sin ( - x) - sin 9x = 0;

sin 5x - sin 9x = 0;

Воспользуемся формулой разности тригонометрических функций:

sin 5x - sin 9x = 2cos ((5x + 9 х) / 2) * sin ((5x - 9 х) / 2) = 2cos ((14 х) / 2) * sin (( - 4 х) / 2) = - 2cos7 х * sin2 х;

= - 2cos7 х * sin2 х = 0;

Произведение равно нулю, если:

1) - 2cos7 х = 0;

cos7 х = 0;

7 х = π/2 + π n, n ∈ Z

х1 = π/14 + π/7 * n, n ∈ Z;

2) sin2 х = 0;

2 х = πm, m ∈ Z;

х2 = π/2 * m, m ∈ Z;

Ответ: х1 = π/14 + π/7 * n, n ∈ Z, х2 = π/2 * m, m ∈ Z.