Найдите ctg (x-y), если cos (x+3y) + cos (3x+y) = 1 и sin (x+3y) - sin (3x+y) = 1/3

В задании требуется вычислить значение выражения ctg (x - y), зная при этом, что cos (x + 3 * y) + cos (3 * x + y) = 1 и sin (x + 3 * y) - sin (3 * x + y) = 1/3. Воспользуемся формулой cosα + cosβ = 2 * cos (½ * (α + β)) * cos (½ * (α - β)) (сумма косинусов). Тогда, данное первое равенство примет вид 2 * cos (½ * (х + 3 * у + 3 * х + у)) * cos (½ * (х + 3 * у - 3 * х - у)) = 1 или, учитывая чётность косинус функции, 2 * cos (2 * (х + у)) * cos (х - у) = 1. Аналогично, воспользуемся формулой sinα - sinβ = 2 * sin (½ * (α - β)) * cos (½ * (α + β)) (разность синусов). Тогда, данное второе равенство примет вид 2 * sin (½ * (х + 3 у - 3 * х - у)) * cos (½ * (х + 3 у + 3 * х + у)) = 1/3 или, учитывая нечётность синус функции, - 2 * sin (х - у) * cos (2 * (х + у)) = 1/3. Поделим левую часть последнего равенства п. 2 на левую часть последнего равенства п. 3; выполним такое же действие с правыми частями этих равенств. Тогда, получим: (2 * cos (2 * (х + у)) * cos (х - у)) : (-2 * sin (х - у) * cos (2 * (х + у))) = 1 : (1/3). После сокращения в левой части последнего равенства на 2 * cos (2 * (х + у)), имеем: - cos (х - у) / sin (х - у) = 3. Используя формулу ctgα = cosα / sinα, окончательно, получим ctg (x - y) = - 3

Ответ: - 3.