Найти при каких значениях x и y выражение А = x2+2xy + 2y2+2x + 4y+3 принимает наименьшее значение.

Имеем выражение, которое преобразуем, выделяя квадраты сумм переменных и числа:

x^2 + 2 * x * y + 2 * y^2 + 2 * x + 4 * y + 3 = (x^2 + 2 * x * y + y^2) + (y^2 + 4 * y + 4) + (2 * x - 1) = (x + y) ^2 + (y + 2) ^2 + (2 * x - 1).

Порассуждаем. Выражение представлено в виде суммы трех слагаемых - двух квадратов сумм и двучлена. Квадраты сумм всегда неотрицательны независимо от значений переменных. Логично будет считать значение выражения минимальным, если квадраты будут равны нулю:

x + y = 0;

y + 2 = 0;

y = - 2;

x = 2;

2 * x - 1 = 3 - наименьшее значение.