Решите неравенство. (Log 0,5 x) ^2 - 3log 0,5 x - 4 больше или = 0 ответ должен быть 1/16,2

Заменим t = log _0,5 x и решим:

(log _0,5 x) ^2 - 3log _0,5 x - 4 > = 0;

t^2 - 3t - 4 = 0;

Определим дискриминант квадратного уравнения:

D = ( - 3) ^2 - 4 * 1 * ( - 4) = 9 + 16 = 25;

t1 = (3 - √25) / 2 * 1 = (3 - 5) / 2 = - 2 / 2 = - 1;

t2 = (3 + √25) / 2 * 1 = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4;

+ - +

---• ( - 1) - --• (4) - --

t ∈ ( - ∞; - 1] ∪ [4; + ∞);

Получим совокупность неравенств:

{t < = - 1;

{t > = 4;

Найдем х:

{log _0,5 x < = - 1;

{log _0,5 x > = 4;

4 = log _0,5 0,5 ⁴;

- 1 = log _0,5 0,5 ^{- 1} = log _0,5 2;

{log _0,5 x < = log _0,5 2;

{log _0,5 x > = log _0,5 0,5⁴;

Основание логарифма меньше 1, поэтому заменим неравенства на равносильные:

x > = 2;

x < = 0,5 ⁴;

Интервал x ∈ ( - ∞; 0,5⁴] ∪ [2; + ∞);

Ответ: интервал x ∈ ( - ∞; 0,5⁴] ∪ [2; + ∞).