1+ctgальфа/1+tgальфа

Обозначим через А данное тригонометрическое выражение. Прежде всего, следует отметить, что данное выражение имеет смысл, если tgα и ctgα имеют смысл, а также tgα ≠ - 1. Пусть выполняются вышеописанные условия. Воспользуемся формулами ctgα = cosα / sinα и tgα = sinα / cosα. Тогда А = (1 + cosα / sinα) / (1 + sinα / cosα). Ясно, что числитель этой дроби можно привести к виду 1 + cosα / sinα = (sinα + cosα) / sinα. Аналогично, знаменатель примет вид 1 + sinα / cosα = (sinα + cosα) / cosα. Следовательно, А = [ (sinα + cosα) / sinα] / [ (sinα + cosα) / cosα]. Сокращая на sinα + cosα ≠ 0, получим А = cosα / sinα = ctgα.

Ответ: Если имеют смысл tgα и ctgα, а также tgα ≠ - 1, то (1 + ctgα) / (1 + tgα) = ctgα.