При каком значении b система уравнений xy=1 x²+y²=b имеет ровно два решения?

xy = 1,

x^2 + y^2 = b.

Выразим из первого уравнения у:

у = 1/х.

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

x^2 + (1/х) ^2 = b.

Перенесем все в левую часть:

x^2 + (1/х) ^2 - b = 0,

x^2 + 1 / (х^2) - b = 0.

Приведем к общему знаменателю:

(х^4 + 1 - bх^2) / (х^2) = 0,

(х^4 - bх^2 + 1) / (х^2) = 0.

В числителе биквадратное уравнение, чтобы оно имело 2 корня, необходимо, чтобы соответствующее ему квадратное уравнение имело 1 корень, т. е. уравнение:

t^2 - bt + 1 = 0 имело 1 корень.

D = b^2 - 4.

D = 0:

b^2 - 4 = 0,

b = - 2,

b = 2.

Значение b является неотрицательным, т. к. x^2 + y^2 = b.

Ответ: при b = 2 система уравнений имеет ровно 2 решения.