При каком значении B система уравнений xy=1; x^2+y^2=b имеет ровно два решения?

Из первого уравнения системы получаем, что у = 1 / х. Подставим это значение у во второе уравнение системы:

х² + (1 / х) ² = b,

x4 + 1 = b * x²,

x4 - b * x² + 1 = 0.

Мы получили биквадратное уравнение, которое будет иметь всего два корня только в том случае, когда его дискриминант равен 0, в остальных случаях корней будет четыре или не будет вообще.

D = b² - 4 * 1 * 1 = b² - 4,

b² - 4 = 0,

b² = 4,

b = 2.

x4 - 2 * x² + 1 = (x² - 1) ² = 0, значит х² = 1, то есть х = 1 и х = - 1.

Ответ: b = 2.