Точка м середина ребра вв1 куба авсда1 в1 с1 д1 найдите угол между прямой АМ и плоскостью АВС1

1). Обозначим длину ребра куба АВ = а. рассмотрим прямоугольный треугольник АМВ, угол АВМ = 90º, ВМ = а: 2, так как М - середина ребра ВВ1. По теореме Пифагора АМ^2 = АВ^2 + ВМ^2, тогда гипотенуза АМ = а • (5^1/2) : 2.

2). Из точки М опустим перпендикуляр МК к диагонали грани куба ВС1. Получим прямоугольный треугольник ВМК, угол ВКМ = 90º. Так как ВС1 диагональ квадрата ВВ1 С1 С, то ВС1 образует с ребром ВВ1 угол В1 ВС1 = 45º. Тогда в треугольнике ВМК угол МВК = 45º. Сумма углов в треугольнике = 180º, получается, что угол ВМК = 45º и треугольник ВМК - равнобедренный с основанием ВМ. По теореме Пифагора ВМ^2 = МК^2 + ВК^2, тогда катет МК = а • (2^1/2) : 4.

3). В прямоугольном треугольнике АМК, угол АКМ = 90º, найдём sin А = МК: АМ, где АМ = а • (5^1/2) : 2, МК = а • (2^1/2) : 4. Получаем: sin А = (а • (2^1/2) : 4) : а • (5^1/2) : 2 = 1 / (10^1/2) ≈ 0,3162; А ≈ 18,4º. Ответ: между прямой АМ и плоскостью АВС1 - угол А ≈ 18,4º.