Веревочку длины 1 и веревочку длины 2 разрезали на несколько частей каждую. Все части оказались равными по длине. Сколько могло получиться частей?

Разрежем веревочку длины 1 на х равных частей, длина каждой части получиться равной 1/х.

Для того что бы разрезать веревочку длины 2 на кусочки длинной 1/х, нужно разрезать веревочку длины 2 на:

2 : 1/х = 2 * х частей;

Всего у нас получается:

х + 2 * х = 3 * х частей;

Следовательно, на сколько бы частей не разрезали эти верёвочки, общее число всех кусочков непременно окажется кратным трём, т. е. должно делиться на три.

Ответ: может получиться 3 * х частей.

Количество частей от каждой веревки

Если длину каждой части после разреза веревок обозначим x, то для количества частей m от разреза первой веревки получим:

m = 1 / x,

а для количества частей n от разреза второй веревки:

n = 2 / x.

Разделим эти значения друг на друга:

n : m = (2 / x) : (1 / x);

n : m = 2, отсюда получим

n = 2 * m.

Стало быть, при одинаковой длине частей, от второй веревки получим вдвое больше частей, чем от первой веревки.

Количество частей от двух веревок

Количество всех частей k, естественно, равно сумме количеств частей от каждой веревки:

k = m + n; k = m + 2m; k = 3m.

Поскольку из условия задачи следует, что каждую веревку разрезали на несколько частей, то очевидно, первую веревку разрезали, по крайней мере, на две части, а вторую веревку - по крайней мере, на четыре части. Следовательно, для наименьшего количества всех разрезанных частей получим:

2 + 4 = 6.

Если число частей от первой веревки равно 3, то получим:

m = 3;

k = 3m = 3 * 3 = 9.

Таким образом, можем утверждать, что количество всех частей может принимать любое значение, которое кратно числу 3, кроме самого числа 3.

Ответ: 3m, m ∈ N, m ≥ 2.