Y=sin^2 (корень x в 6 степени) y'=?

Найдём производную данной функции: y = sin^2 (x^ (1 / 6)).

Воспользовавшись формулами:

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(sin x) ' = cos x (производная основной элементарной функции).

y = f (g (x)), y' = f'u (u) * g'x (x), где u = g (x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y' = (sin^2 (x^ (1 / 6))) ' = (x^ (1 / 6)) ' * (sin (x^ (1 / 6))) ' * (sin^2 (x^ (1 / 6))) ' = ((1 / 6) * x^ ((1 / 6) - 1) * cos (x^ (1 / 6)) * 2 * sin^ (2 - 1) (x^ (1 / 6)) = ((1 / 6) * x^ (-5 / 6)) * cos (x^ (1 / 6)) * 2 * sin (x^ (1 / 6)) = (1 / 6x^ (5 / 6)) * 2 * cos (x^ (1 / 6)) * sin (x^ (1 / 6)).

Сократим выражение, воспользовавшись формулой двойного угла (sin 2x = 2sin x * cos x):

y' = (1 / 6x^ (5 / 6)) * 2 * cos (x^ (1 / 6)) * sin (x^ (1 / 6)) = (1 / 6x^ (5 / 6)) * sin (2x^ (1 / 6)) = sin (2x^ (1 / 6)) / 6x^ (5 / 6)).

Ответ: y' = sin (2x^ (1 / 6)) / 6x^ (5 / 6)).