Найдите наименьшее значение функции у=х^3+6 х^2+9 х+8 на отрезке [-2:0].

1. Определим первую производную функции: y' = 3 * x² + 12 * x + 9.

2. Определим значения x, в которых первая производная обращается в ноль. То есть, найдем точки экстремума функции. Для этого решим уравнение: 3 * x² + 12 * x + 9 = 0.

3. Разделим обе части уравнения на 3. Получим: x² + 4 * x + 3 = 0. Дискриминант уравнения

D = 16 - 12 = 4. Следовательно корни уравнения:

x₁ = (-4 - 2) / 2 = - 3 x₂ = (-4 + 2) / 2 = - 1.

4. Второй корень уравнения, равный - 1, принадлежит отрезку [-2, 0]. Определим значение второй производной функции в этой точке.

5. Вторая производная y'' = 6 * x + 12. В точке x = - 1 ее значение равно 6 * (-1) + 12 = 6 > 0.

Так как вторая производная в точке x = - 1 больше нуля, то функция в этой точке достигает минимума.

6. Значение функции в точке x = - 1 равно:

y = (-1) ³ + 6 * (-1) ² + 9 * (-1) + 8 = - 1 + 6 - 9 + 8 = 4.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке [-2, 0] равно 4.