Решите уравнение cos3x+cos2x=sin5x

cos 3x + cos 2x = sin 5x;

По формуле преобразования суммы тригонометрических функций в произведение сумма косинуcов равна:

cos a + cos b = 2cos (a + b) / 2 · cos (a - b) / 2;

2cos (3x + 2x) / 2 · cos (3x - 2x) / 2 = 2 sin 5x/2 · cos 5x/2;

2cos 5x/2 · cos x/2 - 2 sin 5x/2 · cos 5x/2 = 0;

cos 5x/2 · cos x/2 - sin 5x/2 · cos 5x/2 = 0;

cos 5x/2 · (cos x/2 - sin 5x/2) = 0;

1) cos 5x/2 = 0; 5x/2 = п/2 + пn; 5x = п + 2 пn;

x = п/5 + 2 пn/5; n Е Z;

2) cos x/2 - sin 5x/2 = 0;

sin (п/2 - x/2) - sin 5x/2 = 0;

Применим формулу разницы синусов:

sin a - sin b = 2sin (a - b) / 2 · cos (a + b) / 2;

2 sin (п/2 - x/2 - 5x/2) / 2 · cos (п/2 - x/2 + 5x/2) / 2 = 0;

sin (п/4 - 3x/2) · cos (п/4 + x) = 0;

1) sin (п/4 - 3x/2) = 0;

sin (3x/2 - п/4) = 0; 3x/2 - п/4 = пm;

3x/2 = п/4 + пm; x = п/6 + 2 пm/3, m Е Z;

2) cos (п/4 + x) = 0; п/4 + x = п/2 + пk; x = п/4 + пk, k Е Z;

Ответ: x = п/5 + 2 пn/5; n Е Z;

x = п/6 + 2 пm/3, m Е Z;

x = п/4 + пk, k Е Z;