Найдите точку максимума функции y=0.5x^2-7x+12Inx+8

1. Найдем производную функции у = 0,5 х^2 - 7 х + 12ln (x) + 8:

y' = x - 7 + 12/x.

2. Приравняем эту производную к нулю:

х - 7 + 12/х = 0;

х^2 - 7 х + 12 = 0;

х ≠ 0.

D = b^2 - 4ac = 49 - 4 * 12 * 1 = 49 - 48 = 1.

D > 0, уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + √D) / 2a = (7 + 1) / 2 = 8/2 = 4;

x2 = (-b - √D) / 2a = (7 - 1) / 2 = 6/2 = 3.

3. Определим знаки производной на интервалах (-∞; 0), (0; 3), (3; 4), (4; + ∞):

у (-1) = - 1 - 7 - 12 = - 20 < 0;

у (1) = 1 - 7 + 12 = 6 > 0;

у (3,5) = 3,5 - 7 + 12/3,5 < 0;

у (5) = 5 - 7 + 12/5 = 7,4 - 7 = 0,4 > 0.

В точке х = 3 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это точка максимума.

Ответ: 3.