Решите систему симметрических уравнений Система: (x+y) xy=12 x+y+xy=7

1. Обозначим:

p = x + y; q = xy; { (x + y) xy = 12;

{x + y + xy = 7; {pq = 12;

{p + q = 7.

2. По обратной теореме Виета, p и q являются корнями приведенного квадратного уравнения:

r^2 - 7r + 12 = 0;

D = 7^2 - 4 * 12 = 49 - 48 = 1;

r = (7 ± 1) / 2;

r1 = (7 - 1) / 2 = 6/2 = 3; r1 = (7 + 1) / 2 = 8/2 = 4;

a) (p; q) = (3; 4);

{x + y = 3;

{xy = 4;

x и y являются корнями уравнения:

s^2 - 3s + 4 = 0;

D = 3^2 - 4 * 4 = 9 - 16 = - 7 < 0, нет решений;

b) (p; q) = (4; 3);

{x + y = 4;

{xy = 3;

x и y являются корнями уравнения:

s^2 - 4s + 3 = 0;

D = 4^2 - 4 * 3 = 16 - 12 = 4;

s = (4 ± √4) / 2 = (4 ± 2) / 2 = 2 ± 1;

s1 = 2 - 1 = 1; s2 = 2 + 1 = 3;

(x; y) = (1; 3), (3; 1).

Ответ: (1; 3), (3; 1).