Найти производную y=x-ln (2+e^x) x0=0

Найдём производную функции: y = x - ln (2 + e^x).

Воспользовавшись формулами:

(ln x) ' = 1 / х (производная основной элементарной функции).

(e^x) ' = e^x (производная основной элементарной функции).

(с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y' = (x - ln (2 + e^x)) ' = (x) ' - (ln (2 + e^x)) ' = (x) ' - (2 + e^x) ' * (ln (2 + e^x)) ' = (x) ' - ((2) ' + (e^x) ') * (ln (2 + e^x)) ' = 1 - (0 + e^x) * (1 / (2 + e^x)) = 1 - (e^x / (2 + e^x)).

Вычислим значение производной в точке х0 = 0:

y' = 1 - (e^0 / (2 + e^0)) = 1 - (1 / (2 + 1) = 1 - 1 / 3 = 2 / 3.

Ответ: y' = 1 - (e^x / (2 + e^x)), а y' (0) = 2 / 3.