При каких значениях n парабола y = - x2 + (n-1) x+n целиком расположено ниже прямой y=1

1. Парабола y = - x^2 + (n-1) x + n целиком будет расположена ниже прямой y = 1 в том случае, когда неравенство

-x^2 + (n-1) x + n ≥ 1

не будет иметь решений.

2. Решим неравенство:

-x^2 + (n-1) x + n ≥ 1;

-x^2 + (n-1) x + n - 1 ≥ 0; (1)

D = b^2 - 4ac;

D = (n - 1) ^2 + 4 (n - 1);

D = (n - 1) * (n - 1 + 4);

D = (n - 1) * (n + 3).

3. Поскольку коэффициент при старшем члене выражения в левой части неравенства (1) отрицателен, то неравенство не будет иметь решений при отрицательных значения дискриминанта:

D < 0;

(n - 1) * (n + 3) < 0;

n1 = - 3; n2 = 1;

n ∈ (-3; 1).

Ответ: (-3; 1).