В урне находится 3 белых 4 желтых и 2 черных шара. Из нее наугад вынимают (без возвращения) один за другим по одному шару. Какова вероятность того, что белый шар появится раньше желтого?

Вынуть белый шар раньше жёлтого (обозначим это как событие A) получится в трёх случаях: первым достали белый шар, белый достали после первого чёрного, белый достали после первого и второго чёрных. Во всех остальных случаях жёлтый вынут раньше.

Примем гипотезы:

H1 - первым вынули белый шар;

H2 - первым вынули чёрный шар;

H3 - первым и вторым вынули чёрные шары.

Вероятности гипотез:

P (H1) = 3/9 = 1/3;

P (H2) = 2/9;

P (H3) = 2/9 · 1/8 = 1/36.

Условная вероятность того, что появится событие A при исполнении этих гипотез:

P (A|H1) = 1;

P (A|H2) = 3/8;

P (A|H3) = 3/7;

Применяя формулу полной вероятности, получим:

P (A) = P (H1) · P (A|H1) + P (H2) · P (A|H2) + P (H3) · P (A|H3) = 1/3 · 1 + 2/9 · 3/8 + 1/36 · 3/7 = 1/3 + 1/12 + 1/84 = 28/84 + 7/84 + 1/84 = 36/84 = 3/7 = 0,42857.

Ответ: 0,42857.