Решите уравнение (1/4) ^x+2=64^x

1. Чтобы решить показательное уравнение, воспользуемся свойством степени:

(1/4) ^ (x+2) = 64^x;

(1/4) ^2 * (1/4) ^x = 64^x;

1/16 * 4^ ( - x) = 64^x;

1/16 * 4^ ( - x) = 4^3x;

1/16 * (4^x) ^ ( - 1) = (4^x) ^3;

2. Выполним замену:

4^x = у;

1/16 * у^ ( - 1) = у^3;

1/16 у = у^3;

3. Умножим на 16 у:

1 = 16y^4;

5. Применим формулу разности квадратов:

1 - 16y^4 = 0;

(1 - 4 у^2) (1 + 4y^2) = 0;

6. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1 + 4y^2 = 0;

4y^2 = - 1;

y^2 = - 1/4, не имеет решений;

1 - 4y^2 = 0;

1 = 4y^2;

y^2 = 1/4;

у1 = - 1/2;

у2 = 1/2;

7. Подставим значения:

4^x = у;

Если у1 = - 1/2, то нет решений, так как 4^x > 0;

Если у1 = 1/2, то:

4^x = 1/2;

2^2x = 2^ ( - 1);

8. Из равенство оснований следует:

2 х = - 1;

х = - 1/2;

Ответ: х = - 1/2.