Найти область определения функции: У = (√ (20-9 х+х^2)) / (х-4)

Область определения функции - это множество, в каждой точке которого функция определена.

y = (√ (20 - 9 * x + x²)) / (x - 4) - данная функция будет определена на всех точках, в которых подкоренное выражение числителя больше или равно 0, а знаменатель не равен 0.

1. Рассмотрим числитель:

x² - 9 * x + 20 ≥ 0.

Найдем точки смены знака неравенства.

Дискриминант:

D = b² - 4 * a * c = ( - 9) ² - 4 * 1 * 20 = 81 - 80 = 1.

x = ( - b + / - √ D) / 2 * a.

x₁ = ( - ( - 9) + √ 1) / 2 * 1 = (9 + 1) / 2 = 10 / 2 = 5.

x₂ = ( - ( - 9) - √ 1) / 2 * 1 = (9 - 1) / 2 = 8 / 2 = 4.

Рассмотрим интервалы:

- на промежутке ( - ∞; 4] выражение x² - 9 * x + 20 ≥ 0;

- на промежутке [4; 5] выражение x² - 9 * x + 20 ≤ 0;

- на промежутке [5; + ∞) выражение x² - 9 * x + 20 ≥ 0.

2. Рассмотрим знаменатель:

x - 4 ≠ 0;

x ≠ 4.

Тогда x ∈ ( - ∞; 4) ∪ (4; + ∞).

3. Областью определения функции будет промежуток, удовлетворяющий решениям неравенств ( - ∞; 4] ∪ [5; + ∞) и ( - ∞; 4) ∪ (4; + ∞). Этот промежуток ( - ∞; 4) ∪ [5; + ∞).

Ответ: x ∈ ( - ∞; 4) ∪ [5; + ∞).