При каких значениях параметра b уравнение x^4 - (4b+2) x^2+3b^2+2b=0 имеет два различных решения?

1. Обозначим:

y = x^2; (1)

x^4 - (4b + 2) x^2 + 3b^2 + 2b = 0;

x^4 - 2 (2b + 1) x^2 + 3b^2 + 2b = 0; (2)

y^2 - 2 (2b + 1) y + 3b^2 + 2b = 0. (3)

2. Вычислим дискриминант:

D/4 = (2b + 1) ^2 - (3b^2 + 2b) = 4b^2 + 4b + 1 - 3b^2 - 2b = b^2 + 2b + 1 = (b + 1) ^2;

y = 2b + 1 ± √ ((b + 1) ^2);

y = 2b + 1 ± |b + 1|;

y = 2b + 1 ± (b + 1);

a) при b = - 1 получим единственный отрицательный корень:

y = 2 * (-1) + 1 = - 1.

b) b ≠ - 1;

y1 = 2b + 1 - (b + 1) = 2b + 1 - b - 1 = b; y2 = 2b + 1 + (b + 1) = 2b + 1 + b + 1 = 3b + 2.

3. Уравнение (2) будет иметь два различных корня, если один из корней y1 и y2 положительный, а другой - отрицательный:

a)

{b < 0;

{3b + 2 > 0; {b < 0;

{3b > - 2; {b < 0;

{b > - 2/3;

b ∈ (-2/3; 0).

b)

{b > 0;

{3b + 2 <0; {b> 0;

{3b <-2; {b> 0;

{b < - 2/3;

нет решений.

Ответ: (-2/3; 0).