Найти знаменатель и сумму первых четырех членов геометрической прогрессии с положительными членами, если b1-b2=162, b3-b4=18

Запишем формулу соотношений между первым и тремя последующими членами.

b₂ = b₁ * q;

b₃ = b₁ * q²;

b₄ = b₁ * q³.

Подставим эти выражения в исходную систему уравнений.

b₁ - b₁ * q = 162,

b₁ * q² - b₁ * q³ = 18.

b₁ * (1 - q) = 162,

b₁ * q² * (1 - q) = 18.

1 - q = 162/b₁,

1 - q = 18 / (b₁ * q²).

Приравняем правые части обоих уравнений.

162/b₁ = 18 / (b₁ * q²).

162 * q² = 18.

q² = 18 : 162 = 1/9 = (1/3) ².

q = 1/3, так как известно, что все члены прогрессии больше нуля.

Найдём первый член прогрессии.

b₁ - b₁ * q = 162 при q = 1/3.

b₁ - b₁ * 1/3 = 162.

2/3 * b₁ = 162.

b₁ = 162 : 2/3 = 162 * 3/2 = 243.

Найдём сумму первых четырёх членов прогрессии.

S₃ = b₁ * (1 - q³) / (1 - q).

S₃ = 243 * (1 - (1/3) ³) / (1 - 1/3) = 243 * (1 - 1/27) / (1 - 1/3) = 243 * 26/27 : 2/3 = 243 * 26 * 3/27 * 2 = 9 * 13 * 3 = 351.

Ответ: q₁ = 1/3; S₃ = 351.