На некотором острове, имеющем форму треугольника, расположены три государства, столицы этих государств находятся в вершинах треугольника. Территория острова распределена следующим образом: точка острова принадлежит тому государству, к столице которого она ближе всего находится. Если точка расположена на одинаковом расстоянии от двух столиц, то она принадлежит границе этих государств. Каким должен быть треугольник, изображающий остров, чтобы какие-либо два из государств не имели общих границ?

Пусть между двумя государствами одинаковое расстояние, например, между точками А и B, в треугольнике АВС. Пусть это расстояние будет в точке D. Тогда, точка C имеет наибольшее расстояние от D, если D лежит на стороне AB посередине. А это есть медиана CD.

Медиана меньше половины стороны, если треугольник тупоугольный или тупой, где С тупой угол.

В этом случае государства А и В не могут иметь общих границ, так как точка D находится ближе к вершине С, а значит принадлежит государству со столицей в точке С.