Найти неопределенный интеграл (2x^3-5x^2+7x+8) dx

Вычислим интеграл от функции y = 2 * x³ - 5 * x² + 7 * x + 8. Для того, чтобы вычислить требуемый интеграл (которого обозначим через F (х) = ∫ (2 * x³ - 5 * x² + 7 * x + 8) dx), воспользуемся следующими свойствами интеграла. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть ∫ (С * f (х)) dx = C * ∫f (х) dx, где С - постоянная величина. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, то есть ∫ (f (х) ± g (x)) dx = ∫f (х) dx ± ∫g (х) dx. Имеем F (х) = ∫ (2 * x³ - 5 * x² + 7 * x + 8) dx = ∫ (2 * x³) dx - ∫ (5 * x²) dx + ∫ (7 * x) dx + ∫8dx = 2 * ∫ (x³) dx - 5 * ∫ (x²) dx + 7 * ∫xdx + ∫8dx. Теперь обратимся к справочным материалам по интегрированию и найдём ∫x^pdx = (x^{p + 1}) / (p + 1) + C, где р ≠ - 1, С - постоянные величины. Итак, F (х) = 2 * (x^{3 + 1}) / (3 + 1) - 5 * (x^{2 + 1}) / (2 + 1) + 7 * (x^{1 + 1}) / (1 + 1) + 8 * x + C = (1/2) * х⁴ - (5/3) * х³ + (7/2) * х² + 8 * х + C. Заметим, что все постоянные величины, возникшие при четырёх интегрированиях, собраны в одну постоянную величину и эта постоянная обозначена снова через С.

Ответ: (1/2) * х⁴ - (5/3) * х³ + (7/2) * х² + 8 * х + C, где С - постоянная величина.