Интеграл dx / (1+2x^2) неопределенный интеграл от 0 до пи/2 cos/квадратный корень 2sin+1

1) Интеграл берется непосредственно из определения арктангенса (табличный интеграл):

∫dx / (1 + 2x^2) = 1/2arctg (x) + C, где C - константа.

2) Произведем замену 2sin (x) + 1 = t, тогда dt = 2cos (x), интеграл приобретает форму:

∫1/2 * dt/t = 1/2ln (t).

Обратная замена: 1/2ln (2sin (x) + 1).

Подставляем заданные пределы интегрирования:

1/2ln (2sin (x) + 1)) |0; π/2 = 1/2ln (2 * sin (π/2) + 1) - 1/2ln (2 * sin (0) + 1) = 1/2ln (3) - 1/2ln (1) = 1/2ln (3).