Произведение пятого и двенадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равно - 2,5, а сумма третьего и одиннадцатого членов равна нулю. Найти a14.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии аn = a1 + (n - 1) * d, где а1 - первый член арифметической прогрессии, d - разность арифметической прогрессии.

Согласно условию задачи, сумма третьего и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна нулю, следовательно, справедливо следующее соотношение:

а3 + а11 = а1 + 2*d + a1 + 10*d = 2*a1 + 12*d = 2 * (a1 + 6*d) = 0.

Из полученного соотношения следует, что:

а1 = - 6*d.

Также известно, что произведение пятого и двенадцатого членов данной арифметической прогрессии равно - 2.5, следовательно, справедливо следующее соотношение:

(а1 + 4*d) * (а1 + 11*d) = - 2.5.

Подставляя в полученное соотношение значение а1 = - 6*d, получаем:

(-6*d + 4*d) * (-6*d + 11*d) = - 2.5.

Решаем полученное уравнение:

(-2*d) * (5*d) = - 2.5;

-10*d^2 = - 2.5;

d^2 = 0.25;

d^2 = 0.5^2.

По условию задачи, арифметическая прогрессия является возрастающей, следовательно разность прогрессии является положительной, а значит, d = 0.5.

Зная d, находим а1:

а1 = - 6*d = - 6*0.5 = - 3.

Зная d и а1, находим а14:

а14 = a1 + (14 - 1) * d = a1 + 13*d = - 3 + 13*0.5 = - 3 + 6.5 = 3.5.

Ответ: а14 = 3.5.